Møse ble utnevnt til dommer i Høyesterett i 2009, men var fra 2011 til 2018 dommer ved Menneskerettsdomstolen i Strasbourg. Han begynte sin karriere i Justisdepartementets lovavdeling i 1977. Etter å ha vært dommerfullmektig i Eiker, Modum og Sigdal herredsrett fra 1985 til 1986, var han fra 1986 til 1993 advokat hos Regjeringsadvokaten. Siden har han vært dommer, ved Borgarting lagmannsrett fra 1993 til 1999, i FNs straffedomstol for Rwanda fra 1999 til 2009, og siden da altså i EMD og Høyesterett. Setet som blir ledig etter Møse, vil bli fylt ved at Jens E. A. Skoghøy returnerer til Høyesterett, etter en periode som professor i Tromsø.